Inverses de matrices - Propriétés

Propriété  Inverse de l’inverse

Soit une matrice carrée  $A$ de taille  $n$ inversible, alors son inverse  $A^{-1}$ est aussi inversible et $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ .

Preuve

C’est une simple conséquence de la définition !

Propriété  Inverse du produit de deux matrices inversibles

Soit deux matrices carrées  $A$ et  $B$ de même taille $n$ , inversibles toutes les deux. Alors leur produit  $AB$ est inversible et $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ .

Remarque

On a évidemment aussi $BA$  inversible et $(BA{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ .

Preuve

Déjà, on peut remarquer que tous les produits sont possibles, puisque toutes les matrices considérées sont carrées de taille $n$ .
Il reste à appliquer l’associativité de la multiplication des matrices et utiliser que la matrice  $I_n$ est élément neutre de la multiplication des matrices de taille  $n$ :
$B^{-1}{A}^{-1}AB=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}{I}_{n}B=B^{-1}B=I_n$
et  $AB{B}^{-1}{A}^{-1}=A(B{B}^{-1})A^{-1}=A{I}_n{A}^{-1}=A{A}^{-1}=I_n$
Donc on a bien  $AB$ inversible et $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ .