Inverses de matrices - Propriétés

Propriété  Inverse de l’inverse

Soit une matrice carrée  \(A\) de taille  \(n\) inversible, alors son inverse  \(A^{-1}\) est aussi inversible et \((A^{-1})^{-1}=A\) .

Preuve

C’est une simple conséquence de la définition !

Propriété  Inverse du produit de deux matrices inversibles

Soit deux matrices carrées  \(A\) et  \(B\) de même taille \(n\) , inversibles toutes les deux. Alors leur produit  \(AB\) est inversible et \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) .

Remarque

On a évidemment aussi \(BA\)  inversible et \((BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\) .

Preuve

Déjà, on peut remarquer que tous les produits sont possibles, puisque toutes les matrices considérées sont carrées de taille \(n\) .
Il reste à appliquer l’associativité de la multiplication des matrices et utiliser que la matrice  \(I_n\) est élément neutre de la multiplication des matrices de taille  \(n\) :
\(B^{-1}A^{-1}AB=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_nB=B^{-1}B=I_n\)
et  \(ABB^{-1}A^{-1}=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_nA^{-1}=AA^{-1}=I_n\)
Donc on a bien  \(AB\) inversible et \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) .